التكوين الرياضي بالمستوى الثانية بكالوريا علوم تجريبية

1. عموميات حول التكوين العلمي
يتطلب تصور برنامج للرياضيات, بسلك الباكالوريا, يراهن على تكوين علمي متين للمتعلمين :
– اعتبار تنوع و غناء الرياضيات الحالية,
– التذكير بالعناصر الأساسية الخاصة بالمنهجية الرياضية و التي لا يمكن لأي تكوين رياضي القيام بدونها.

ونلخص نوعية ( la spécificité) أية ممارسة رياضية في أربع مكونات أساسية و هي :
الملاحظة و التجربة و التجريد و البرهنة. و ترتبط هده المكونات فيما بينها بعلاقات جدلية, أي كل واحدة تستدعي الأخرى أو ترتكز عليها و دلك حسب نوعية النشاط الرياضي الذي نمارسه.
1.1

الملاحظة
تعتبر الملاحظة صيرورة ديناميكية تثيرها إشكالية مرتبطة بمجال ما, و تدفع إلى طرح العديد من الأسئلة الشيء الذي يبين اصل و تطور بعض الأفكار.
لا يمارس الملاحظة بدون أي رصيد معرفي, فهي مهمة و غنية بقدر ما تكون معارف الملاحظ مهمة و ومنظمة في نسق فكري متكامل.
تتطلب الملاحظة النشطة التجربة و تساهم هي أيضا بالمقابل في اغنائها.
1.2

التجريد
يقع التجريد في قلب النشاط الرياضي و له عدة مستويات, و المتعلمون لا يترددون في تجريب قوة و قدرة كل مستوى هم فيه.
يوفر التجريد إمكانيات التطور و النمو في عالم معرفي جديد يمكن من صياغة الأسئلة المعقدة لواقع ما صياغة بسيطة و واضحة الشيء الذي ييسر التوصل إلى حلها حلا واقعيا و موضوعيا. لكن الوصول إلى هدا المستوى من التفكير يتطلب جهدا كبيرا و وقتا طويلا, و مع دلك قد يكون دلك مفيدا جدا للمتعلمين و يجدون فيه متعة.
لا يعد البرنامج بطريقة لامتلاك مستويات التجريد لكن من الممكن أن يجعل المدرس تدريسه يستهدفه في احد جوانبه.
يرتكز البرنامج على استراتيجية تربوية تنطلق من بناء أشياء ذهنية إلى مفاهيم رياضية.
1.3

التجربة
تتدخل التجربة في كل مستويات النشاط الرياضي و تعم كل العمليات التي تستهدف دراسة حالات خاصة لسؤال معقد مطروح للمعالجة. و تمكن التجربة أيضا من :
– البحث عن الأمثلة المضادة.
– فهم كيفية معالجة سؤال ما في حالات خاصة و إمكانية تعميم استدلالاتها أم لا.
– صياغة مظنونات لأسئلة مماثلة للتي يمت دراستها.
1.4

البرهنة
تعد البرهنة من مكونات النشاط الرياضي لدى فمن الضروري تحسيس المتعلمين بأهميتها.
إن العالم الرياضي لكل متعلم يتحسن و يتطور في عموميته من خلال ممارسة الحساب و الاستدلال و الحجاج و البرهان.
و إن مستوى الدقة في البرهان مرتبط بتجربة المتعلم في المجال الذي يتواجد فيه البرهان :
فبالنسبة للهندسة, مثالا, التي تمت ممارستها مند المدرسة الابتدائية يمكن فرض مستوى برهان أكاديمي ابتدءا من الجدع المشترك. أما بالنسبة للتحليل فان بعض الأدوات المعرفية التي يوظفها لم يتم بعد تعريفها بشكل نهائي, لدى فان المتعلمين قد يتعثرون في بناء براهين كاملة تمام الكمال( parfaitement achevés) و منه فان فمستوى الدقة و نوعية الصياغة المطلوبة تختلف عما سبق. فمن المناسب ادن في هذه الحالة, و خصوصا في التحليل, قبول استدلالات متصورة و معرضة من خلال خطاطات و مساعدتهم لترجمتها إلى نصوص خطية.
و تجدر الإشارة إلى ضرورة الحفاظ على المبادئ الأساسية التي تمت الإشارة إليها في هدا الصدد برامج السلك الإعدادي و الجدع المشترك العلمي :
– التحديد الدقيق لمختلف المعطيات المستعملة من تعارف و مسلمات و مبرهنات مبرهن عليه و مبرهنات غير مبرهن عليها و خاصيات…الخ.
– الاستنتاج الاعتيادي (déduction usuelle) باستعمال الاستلزام أو التكافؤ.
– استعمال الأمثلة المضادة التي تم الاشتغال عليها خلال المستويات السابقة.
– اختيار مسائل مناسبة لتقديم و التدريب على استعمال البرهان بالخلف و بالاستلزام المضاد للعكس و بفصل الحالات و الترجع.
يتصف البرهان بالمحافظة على الحيوية و الشخصانية لدلك لا يجب إظهاره على أنه نشاط منبثق من اتفاق صارم (protocole Rigide)

خلال كل سنة تتغير المعطيات و الحقائق التي يجب قبولها و التي يجب تعليلها خلال البرهان. فمن الصعب بالنسبة للمتعلمين حصر البديهيات من بين العناصر التي تتطلب التعليل, و التي تعليلاتها تثقل البرهان. فمثلا يمكن اعتبار الدالة موجبة من البديهيات منذ المستوى أولى بكالوريا علمية فالمدرس هو الوحيد القادر على قيادة هده العملية المعقدة شيئا فشيئا.

يعتبر صياغة البرهان عنصرا أساسيا في التكوين العلمي, فهي فرصة لتعديل الاستدلال أو تطويره و تحسينه أو جعله أكثر دقة و جمالية, كما تعتبر أيضا فرصة للبحث عن أحسن الرموز و الوقوف على الأفكار الأساسية للمظهر التقني. و هدا يمكن المتعلم من مد الجسور بين معارفه فيما بينها, و لمها في مجموعة معرفية منسجمة, كما يمكن أيضا من تطوير كغايات رياضية دقيقة.
و في الأخير فان تعلم البرهان يمكن أيضا من امتلاك القدرة على الكتابة بلغة سليمة تزاوج بين الإشارات و الرموز.
إن معرفة المهارات الواجب تطويرها تبين كيفية توظيف الرياضيات في مختلف المواد الدراسية(interdisciplinarité) و تساعد, بالنسبة للمتعلمين و الآباء على السواء, على إدراك معنى النشاط الرياضي.
تبين مستطيلات الخطاطة سلسلة المفاهيم التي تعد أساسية لتكوين علمي في مستوى الثانوي.
2.

الرياضيات والمعلوميات بسلك البكالوريا العلمية
2.1

العلاقة بين الرياضيات و المعلوميات
يمكن حصر علاقة الرياضيات بالمعلوميات في ثلاثة مظاهر و هي :
– التطورات التي شهدتها المعلوميات مرتبطة بشكل وثيق بتطورات التكنولوجياو الرياضيات. و تستخدم المعلوميات في جميع مجالات الرياضيات و بدون استثناء, و تساهم في تطويرها بشكل وافر و دلك من خلال الإشكالات التي تطرحها. و يلاحظ أن البرامج لا تعطي الأولوية للمجالات المرتبطة بالمعلوميات, و هدا اختيار يجب احترامه.
–

بعض المفاهيم الأساسية للمعلوميات
Boucle, test, récursivité, tri, cheminement dans des graphes, opérations sur des types logiques)
هي جزء من مجال الرياضيات و يمكن التطرق إليها خلال دروس الرياضيات. و اعتبارا للغلاف الزمني المخصص للرياضيات و وفرة المفاهيم الرياضية فانه لا يجب برمجة أي درس للمعلوميات خلال خصص الرياضيات. و يمكن تدريب المتعلمين على استعمال الآلة الحاسبة المبرمجة.
–

يمكن استعمال بعض البرانم المعلوماتية من أجل تطوير معارف و كفايات رياضية مرتبطة بالحساب الجبري و الدوال العددية و الهندسة و الحصاء و حساب الاحتمالات.
تشير البرامج إلى ضرورة استثمار العلاقة بين المعلوميات و الرياضيات قدر المستطاع, و لا يتطلب الأمر التخصص في هدا المجال و لكن معرفة نوعية الأسئلة التي يمكن بسطها و حلها باستعمال الحاسوب و الآلة الحاسبة, و معرفة كيفية تحليل الأجوبة المحصلة. و دلك لضمان قدرة المتعلم على إدماج الأدوات المعلوماتية في منهجية رياضية محضة.
2.2

إسهام الأدوات المعلوماتية
إن تطور الأدوات المتاحة لممارسة الرياضيات يصاحبه تطور في المقاربات و الممارسات. و قد غيرت المعلوميات كما و كيفا إمكانيات ممارسة الحساب الدقيق و التقريبي, و ومكنت من مقاربات جديدة للمسائل الكلاسيكية, و فتحت المجال أمام مسائل جديدة. لدلك أصبح من الضروري إعادة النظر في تدريس الرياضيات على ضوء الإمكانيات الهائلة التي توفرها المعلوميات ( برانم هندسية, برانم للحساب, برانم للإنشاء…) لدلك يجب استعمال, قدر الامكان, الأدوات المعلوماتية المناسبة لكل درس.
تحدد البرانم المعلوماتية بشكل سريع و واضح كل خطأ في الصياغة و في التوظيف خصوصا عند استعمال الأعداد و المتغيرات و الأشكال الهندسية.
2.3 طريقة الاستعمال
البرنامج لا يحدد كيفية توظيف الأدوات المعلوماتية في تدريس الرياضيات : أنشطة المتعلمين على الحاسوب أو الآلة الحاسبة المبرمجة و الناشئة للمبيانات( calculatrice programmable graphique), أنشطة فردية أو في مجموعات…, و للمدرس كامل الحرية في اختيار مواقيت هاته الأنشطة و الاستراتيجية التي يراها ملائمة.
3.

الابستملوجيا و تاريخ الرياضيات
يجب تحسيس المتعلمين بان الرياضيات مادة حية و نتاج أبحاث مظنية للعديد من المفكرين استجابة لواقع ما, لدلك من المفيد أن يتعرفوا على بعض الأسماء و فترات حياتهم لاغناء ثقافتهم.
إن أغلب المفاهيم الرياضية أخذت وقتا طويلا في الظهور بشكل نهائي و هدا قد يفيد في تقبل أهمية الوقت اللازم للاستيعاب
و في علاقة مع البرنامج يمكن مثلا :

– الاشتغال على مجموعة نصوص تاريخية مرتبطة بموضوع ما( مفهوم الدالة, أو المعادلة, أو الاشتقاق, أو قانون احتمال…) للتمكن من الإطلاع على طبيعة الأسئلة التي كانت الأصل في ظهور المفاهيم و كيف صيغت هاته الأسئلة و تمت معالجتها.
– كرنولوجيا للوقوف على مراحل تطور المفاهيم.

تترك الحرية كاملة للاستاد لاختيار الطريقة التي يرتئيها لإدماج هدا المكون التاريخي و الابستملوجي في دروسه و دلك بشكل غير نمطي (non systématique) لان تاريخ مفهوما لا يفيد دائما في امتلاكه( قد يحصل أن نسيان مصدر بعض الأسئلة ثمن يؤدى من اجل التقدم العلمي).
4.
تنظيم التعليم و اشتغال المتعلمين
للمدرس الحق في تنظيم تدريسه بالشكل الذي يرتضيه مع احترام المضامين و القدرات و التوجيهات التي يشير إليها المنهاج.
يشكل البرنامج قفزة نوعية لتكوين رياضي بالسلك الثانوي التأهيلي, و يتمم ما تم بناؤه بالجدع المشترك العلمي و المستوى الاولى بكالوريا, و يعتبر تدخل المدرس أساسيا لتحقيق التكوين الذي ينشده كل متعلم.

يجب أن يحرص المدرس على التوازن بين مختلف الأنشطة الرياضية داخل الصف من بحث عن المسائل و حل للتمارين و صياغة للبراهين و عروض للاستاد… التي تستهدف الرقي بالمتعلمين إلى اكتساب المنهجية الرياضية المحددة أعلاه.

و من هدا المنطلق فان كل الأشغال المقترحة للإنجاز خارج أوقات التعليم, سواء في المنزل أو في الثانوية, تلعب دورا أساسيا في التكوين و لها وظائف متعددة :
–
إن حل التمارين التطبيقية التي ترافق إنجاز الدروس تمكن المتعلمين من تثبيت و ترسيخ معارفهم و تقييم قدراتهم على توظيفها لحل وضعيات اعتيادية و دلك من خلال أمثلة بسيطة.
– إن دراسة الوضعيات المعقدة, من خلال الإعداد لأنشطة صفية أو لحل مسائل, تثير لدى المتعلمين نشاط البحث إما فرديا و إما جماعيا. و تمكن من تقييم قدراتهم على توظيف معارفهم في مجالات متعددة.
– تستهدف الأعمال الفردية التي تتطلب تحرير إجابات( حل مسألة, صياغة حل تمرين تمت دراسته داخل الصف, تقرير توليفي عن دراسة لموضوع ما, تحليل نقدي لنص) تطوير, لدى المتعلمين, القدرة على صياغة البراهين و التعبير الكتابي. ونظرا لأهمية هده الأهداف فانه يجب اقتراح هده الأعمال التحريرية بشكل مستمر و أن يكون مضمونها معقولا.
–
تزاوج الفروض المحروسة, الواجب إنجازها بالعدد اللازم, بين التمارين التطبيقية المباشرة للدروس, و المسائل التوليفية التي تكون أسئلتها مترابطة و متدرجة في الصعوبة و تمكن المتعلم من مراقبة نتائجه, و المسائل المفتوحة التي يتطلب حلها اختيار نموذج رياضي, صياغة المظنونات, التجريب على أمثلة أو أمثلة مضادة, بناء براهين.
– إن استثمار الوثائق, بشكل فردي أو جماعي, يمكن المتعلمين من تنمية القدرة على التعبير الكتابي( صياغة تقارير)
و الشفهي (تقديم عروض).
5.
برنامج مستوى الثانية بكالوريا علوم تجربية
5.1
تقديم :
– يعتبر البرنامج المقرر بالمستوى الثانية بكالوريا علوم تجريبية تتمة لما تم تسطيره بالنسبة للمستوى الأولى بكالوريا.و مستوى الثانية بكالوريا هو آخر سنة دراسية بالسلك الثانوي, لدلك فالمضامين المقررة في هدا المستوى تستجيب لغايتين أساسيتين :
— صيانة مكتسبات المتعلمين و إتمام تكوينهم العلمي و الرياضي.
— فتح آفاق جديدة.
– التكوينات العليا متنوعة و تعتمد على الرياضيات بشكل متنوع أيضا. فهي بالنسبة لبعض التخصصات مادة أساسية و بالنسبة للأخرى مادة للنمذجة(modélisation) و الحساب. و بالتالي فان تفوق و نجاح الطلبة الشباب يتوقف أساسا على درجة استيعابهم للعلوم الرياضية. و لتكوين هؤلاء الطلبة فان الرياضيات تسعى الى إدماج, في تدريسها, مختلف التطورات الحاصلة في المجال وكذا الإقبال المتزايد عليها في تحديد حاجيات المجتمع.
– المتعلمون الذين تتوجه إليهم هذه البرامج هم شباب كبروا و تربوا في محيط تسوده التكنولوجيا التي تهذب و تكيف سلوكاتهم و قيمهم, و تخلق لديهم مراكز اهتمام (centre d’intérêt) مهمة و جديدة.
– تعتبر الأدوات المعلوماتية و الآلات الحاسبة المبرمجة ذات أهمية قصوى في تدريس و تعلم الرياضيات, لذلك يتوجب مسايرة هذه التكنولوجيا و توظيفها قدر الامكان في تعليم وتعلم الرياضيات خصوصا في مجال الملاحظة و

البحث و الاستقراء.
– الرياضيات علم الحساب و مدرسة للتفكير الواضح و السليم لذلك وجبت , خلال تدريسها, الموازنة بين التدريب على الحساب و التفكير و ذلك من خلال البرهان الذي هو مناسبة للتحليل الدقيق للمعطيات و تقديم الحجج.
– ينبغي أن تنحصر الدروس في ما يجب تقديمه و ذلك اعتمادا على التوجيهات التربوية و الغلاف الزمني المخصص لكل فقرة و إعطاء الأولوية للمفاهيم الأساسية للبرنامج.
– بعض المبرهنات مقبولة و يجب الاكتفاء فقط باستيعاب مضامينها و تعليم المتعلمين كيفية توظيفها, مع العلم ان هناك حالات خاصة يمكن البرهنة عليها.
– بعض الخاصيات يستعمل كقواعد عملية( نهاية مجموع دالتين هو مجموع النهايتين) و هذا يعني عدم طلب تعليل الاستعمال خلال برهان أو حساب ما.
5.2
المضامين و القدرات المنتظرة للبرنامج
يتوزع البرنامج في المستوى الثانية بكالورياعلوم تجريبية الى الفقرات الاتية :
التحليل 61% ( 17 أسبوع) الجبر و الهندسة 25% ( 7 اسبوع) حساب الاحتمالات 14% ( 4 اسبوع).

أ- التحليل
تهدف فقرات التحليل إلى تحقيق ما يلي :
– توسيع مجال المتتاليات و الدوال التي سبقت دراستها إلى دوال تقليدية جديدة ( الدوال الاسية و اللوغاريتمية مع استعمال الجذور).
– البدء في الحساب التكاملي و إشكالية المعادلات التفاضلية التي توفر فرصا كثيرة لإظهار قوة الرياضيات في النمذجة.
– تستغل دراسة الدوال و المتتاليات في حل مسائل رياضية أو فيزيائية او بيولوجية او اقتصادية …و يمكن ان تكون موضوع البحث عن مطراف أو مقارنة بين دوال أو حل مبياني أو حل معادلة أو متراجحة.
– يتم التركيز على المسائل التي يعتمد حلها على الربط بين الدالة و مشتقتها الأولى أو الثانية..
– يطلب الاستيعاب الجيد لدوال تقليدية( الاشتقاق, المطاريف, السلوك المقارباتي, التمثيل المبياني) لانه سيمكن من حل المسائل التي توظفها بشكل مريح.
– يتم تقديم مفهوم الاتصال الذي يمكن من صياغة بعض المبرهنات صياغة واضحة, و تعتبر الدراسة النظرية لاتصال الدوال خارج البرنامج.
المضامين :المتتاليات العددية,الاتصال و الاشتقاق و دراسة الدوال,الدوال الاصلية ,الدوال اللوغاريتمية و الاسية,المعادلات التفاضلية,الحساب التكاملي.

ب- الهندسة و الجبر
تهدف هذه الفقرة الى صيانة ممارسات(pratiques) المتعلمين على العناصر الاعتيادية للمستوى و الفضاء معا, و الى مدهم ببعض المفاهيم الجديدة التي ستمكن من اكمال المقاربة الخاصة بالهندسة التحليلية و المتجهية و التي تمت بدايتها خلال المستويات السابقة.تعتبر الاعداد العقدية من خلال أهميتها التاريخية و الجبرية و البين- تخصصية (interdisciplinaire) ذات اهمية قصوى لانها توفر ادوت ناجعة لحل المسائل التي توظف التحويلات المستوية .يمكن تمديد الجداء السلمي للفضاء من حل مسائل جديدة و بالتالي تعميق النظرة الى الفضاء.
يخصص الوقت الكافي لتوظيف مختلف المعارف و المفاهيم الهندسية التي تمت دراستها و ذلك من خلال معالجة مسائل تتناول اشكال المستوى و مجسمات الفضاء و التحويلات المستوية و حساب المسافات و قياسات الزوايا و المساحات و الحجوم …الخ
و تعطى الاولوية للمسائل التي تتطلب طرق حلها اولا اختيار الاداة المناسبة من العديد من الادوات المتوفر او المحتملة( خصائص هندسية, حساب متجهي, حساب مرجحي, التحويلات, الاعداد العقدية, الهندسة التحليلية)
المضامين :الجداء السلمي في V3 و تطبيقاته,الجداء المتجهي,الاعداد العقدية

ج- حساب الاحتمالات
تهدف الفقرة الى تقديم مفاهيم اساسية تهم الاحتمال في حالات منتهية و كذلك مفهوم الشرطية و الاستقلالية و دراسة بعض قوانين احتمال.
المضامين حساب الاحتمالات